Matemática discreta Ejemplos

$4 x - 3 y = - 22$ , $2 x + 5 y = 6$

Paso 1

Resuelve $x$ en $4 x - 3 y = - 22$ .

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Paso 1.1

Suma $3 y$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 22 + 3 y$

$2 x + 5 y = 6$

Paso 1.2

Divide cada término en $4 x = - 22 + 3 y$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $4 x = - 22 + 3 y$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 22}{4} + \frac{3 y}{4}$

$2 x + 5 y = 6$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 22}{4} + \frac{3 y}{4}$

$2 x + 5 y = 6$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 22}{4} + \frac{3 y}{4}$

$2 x + 5 y = 6$

$x = \frac{- 22}{4} + \frac{3 y}{4}$

$2 x + 5 y = 6$

$x = \frac{- 22}{4} + \frac{3 y}{4}$

$2 x + 5 y = 6$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $- 22$ y $4$ .

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Paso 1.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 22$ .

$x = \frac{2 (- 11)}{4} + \frac{3 y}{4}$

$2 x + 5 y = 6$

Paso 1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot - 11}{2 \cdot 2} + \frac{3 y}{4}$

$2 x + 5 y = 6$

Paso 1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot - 11}{2 \cdot 2} + \frac{3 y}{4}$

$2 x + 5 y = 6$

Paso 1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$2 x + 5 y = 6$

$x = \frac{- 11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$2 x + 5 y = 6$

$x = \frac{- 11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$2 x + 5 y = 6$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$2 x + 5 y = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$2 x + 5 y = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$2 x + 5 y = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$2 x + 5 y = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$2 x + 5 y = 6$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $2 x + 5 y = 6$ por $- \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$ .

$2 (- \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}) + 5 y = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}) + 5 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (- \frac{11}{2}) + 2 (\frac{3 y}{4}) + 5 y = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{11}{2}$ al numerador.

$2 (\frac{- 11}{2}) + 2 (\frac{3 y}{4}) + 5 y = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{- 11}{2}) + 2 (\frac{3 y}{4}) + 5 y = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- 11 + 2 (\frac{3 y}{4}) + 5 y = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 11 + 2 (\frac{3 y}{4}) + 5 y = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- 11 + 2 (\frac{3 y}{2 (2)}) + 5 y = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Cancela el factor común.

$- 11 + 2 (\frac{3 y}{2 \cdot 2}) + 5 y = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$- 11 + \frac{3 y}{2} + 5 y = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 11 + \frac{3 y}{2} + 5 y = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 11 + \frac{3 y}{2} + 5 y = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $5 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 11 + \frac{3 y}{2} + 5 y \cdot \frac{2}{2} = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1.3.1

Combina $5 y$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 11 + \frac{3 y}{2} + \frac{5 y \cdot 2}{2} = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 11 + \frac{3 y + 5 y \cdot 2}{2} = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 11 + \frac{3 y + 5 y \cdot 2}{2} = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.4.1.1

Factoriza $y$ de $3 y + 5 y \cdot 2$ .

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Paso 2.2.1.4.1.1.1

Factoriza $y$ de $3 y$ .

$- 11 + \frac{y \cdot 3 + 5 y \cdot 2}{2} = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.1.2

Factoriza $y$ de $5 y \cdot 2$ .

$- 11 + \frac{y \cdot 3 + y (5 \cdot 2)}{2} = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 3 + y (5 \cdot 2)$ .

$- 11 + \frac{y (3 + 5 \cdot 2)}{2} = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 11 + \frac{y (3 + 5 \cdot 2)}{2} = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$- 11 + \frac{y (3 + 10)}{2} = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.3

Suma $3$ y $10$ .

$- 11 + \frac{y \cdot 13}{2} = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 11 + \frac{y \cdot 13}{2} = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.2

Mueve $13$ a la izquierda de $y$ .

$- 11 + \frac{13 y}{2} = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 11 + \frac{13 y}{2} = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 11 + \frac{13 y}{2} = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 11 + \frac{13 y}{2} = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 11 + \frac{13 y}{2} = 6$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $- 11 + \frac{13 y}{2} = 6$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Suma $11$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{13 y}{2} = 6 + 11$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.1.2

Suma $6$ y $11$ .

$\frac{13 y}{2} = 17$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$\frac{13 y}{2} = 17$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{13}$ .

$\frac{2}{13} \cdot \frac{13 y}{2} = \frac{2}{13} \cdot 17$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $\frac{2}{13} \cdot \frac{13 y}{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{13} \cdot \frac{13 y}{2} = \frac{2}{13} \cdot 17$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{13} \cdot (13 y) = \frac{2}{13} \cdot 17$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$\frac{1}{13} \cdot (13 y) = \frac{2}{13} \cdot 17$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Factoriza $13$ de $13 y$ .

$\frac{1}{13} \cdot (13 (y)) = \frac{2}{13} \cdot 17$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{13} \cdot (13 y) = \frac{2}{13} \cdot 17$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2}{13} \cdot 17$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{2}{13} \cdot 17$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{2}{13} \cdot 17$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{2}{13} \cdot 17$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $\frac{2}{13} \cdot 17$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Combina $\frac{2}{13}$ y $17$ .

$y = \frac{2 \cdot 17}{13}$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $2$ por $17$ .

$y = \frac{34}{13}$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{34}{13}$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{34}{13}$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{34}{13}$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{34}{13}$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{34}{13}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - \frac{11}{2} + \frac{3 y}{4}$ por $\frac{34}{13}$ .

$x = - \frac{11}{2} + \frac{3 (\frac{34}{13})}{4}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- \frac{11}{2} + \frac{3 (\frac{34}{13})}{4}$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Combina $3$ y $\frac{34}{13}$ .

$x = - \frac{11}{2} + \frac{\frac{3 \cdot 34}{13}}{4}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $34$ .

$x = - \frac{11}{2} + \frac{\frac{102}{13}}{4}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{11}{2} + \frac{102}{13} \cdot \frac{1}{4}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $102$ .

$x = - \frac{11}{2} + \frac{2 (51)}{13} \cdot \frac{1}{4}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.1.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = - \frac{11}{2} + \frac{2 \cdot 51}{13} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.1.4.3

Cancela el factor común.

$x = - \frac{11}{2} + \frac{2 \cdot 51}{13} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.1.4.4

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{11}{2} + \frac{51}{13} \cdot \frac{1}{2}$

$y = \frac{34}{13}$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{51}{13} \cdot \frac{1}{2}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.1.5

Multiplica $\frac{51}{13}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = - \frac{11}{2} + \frac{51}{13 \cdot 2}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.1.6

Multiplica $13$ por $2$ .

$x = - \frac{11}{2} + \frac{51}{26}$

$y = \frac{34}{13}$

$x = - \frac{11}{2} + \frac{51}{26}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.2

Para escribir $- \frac{11}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{13}{13}$ .

$x = - \frac{11}{2} \cdot \frac{13}{13} + \frac{51}{26}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $26$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.1.3.1

Multiplica $\frac{11}{2}$ por $\frac{13}{13}$ .

$x = - \frac{11 \cdot 13}{2 \cdot 13} + \frac{51}{26}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $13$ .

$x = - \frac{11 \cdot 13}{26} + \frac{51}{26}$

$y = \frac{34}{13}$

$x = - \frac{11 \cdot 13}{26} + \frac{51}{26}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 11 \cdot 13 + 51}{26}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.5.1

Multiplica $- 11$ por $13$ .

$x = \frac{- 143 + 51}{26}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.5.2

Suma $- 143$ y $51$ .

$x = \frac{- 92}{26}$

$y = \frac{34}{13}$

$x = \frac{- 92}{26}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.6

Cancela el factor común de $- 92$ y $26$ .

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Paso 4.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $- 92$ .

$x = \frac{2 (- 46)}{26}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.6.2.1

Factoriza $2$ de $26$ .

$x = \frac{2 \cdot - 46}{2 \cdot 13}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot - 46}{2 \cdot 13}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 46}{13}$

$y = \frac{34}{13}$

$x = \frac{- 46}{13}$

$y = \frac{34}{13}$

$x = \frac{- 46}{13}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 4.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{46}{13}$

$y = \frac{34}{13}$

$x = - \frac{46}{13}$

$y = \frac{34}{13}$

$x = - \frac{46}{13}$

$y = \frac{34}{13}$

$x = - \frac{46}{13}$

$y = \frac{34}{13}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- \frac{46}{13}, \frac{34}{13})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(- \frac{46}{13}, \frac{34}{13})$

Forma de la ecuación:

$x = - \frac{46}{13}, y = \frac{34}{13}$

Paso 7